Anh Quân sinh ra tại Hà Nội, là con của một gia đình nổi tiếng với cha là nhạc sĩ Trương Ngọc Ninh và mẹ là nghệ sĩ Thu Hiền. Họ có một căn hộ nhỏ tại khu tập thể Đài Tiếng nói Việt Nam ở Ngã Tư Vọng[2]. Anh Quân có một người em gái là ca sĩ - người dẫn chương trình Văn nghệ Chủ nhật Hương Ly.

Cha là nhạc sĩ, Anh Quân dễ dàng có được niềm niềm đam mê với âm nhạc. Năng khiếu của Anh Quân sớm được nhạc sĩ Trương Ngọc Ninh phát hiện, bồi đắp và nuôi dưỡng. Năm 7 tuổi, Anh Quân được học violon tại Nhạc viện Hà Nội dưới sự dìu dắt của nghệ sĩ Tạ Bôn, và tới năm 14 tuổi, anh được chọn đi du học tại Liên Xô[3].

Dù phải sống trong thời kỳ bao cấp khó khăn, cậu bé Anh Quân không bao giờ cảm thấy thiếu thốn về vật chất cũng như tình thương từ cha mẹ. Anh nhớ lại: "Mình còn quá nhỏ tuổi nên không để ý được là bố mẹ phân chia công việc như thế nào nhưng chỉ biết là bố mẹ, hoặc ít nhất là một trong hai người, luôn ở bên cạnh các con và luôn có mặt khi tôi cần."[2] Anh luôn biết ơn bố mẹ là những người đã tạo nên thành công cho mình: "Điều đáng quý nhất mà tôi thừa hưởng từ bố mẹ là được lớn lên trong tình thương yêu của gia đình. Tôi trở thành một người tự tin và biết sống thương yêu người khác!"[2]